Занятие в математической школе
Тема: Проценты и процентное отношение.
Процентные изменения.
1. Простейшие задачи на проценты.
Проценты одно
из таких математических понятий, которые часто встречаются в повседневной
жизни. Так, вы часто читаете или слышите, что, например, в выборах приняли
участие 56,3 процента избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 74 процентам, промышленное производство
сократилось на 11,3 процента, банк начисляет 20 процентов годовых, молоко
содержит 1,5 процента жира, и т.п. Ясно, что понимание такого рода информации в
современном обществе совершенно необходимо. Задачи на проценты присутствуют в
контрольных измерительных материалах ЕГЭ, при поступлении в различные ВУЗы,
техникумы.
Еще с младших
классов известно, что процентом от любой
величины – денежной суммы, массы добытой в стране нефти, числа учащихся
школы и т.п. – называется одна сотая
часть. Обозначается процент знаком %.
Понятно, что
вся рассматриваемая величина составляет 100 сотых, или 100% от самой себя.
Стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих учеников.
Для нахождения
заданного числа р процентов от
заданной величины S можно сделать два шага: найти сначала один процент – он
равен S/100 и
полученный результат умножить на р –
получится рS/100. Таким образом, р% от величины S составляют рS/100.
р%
от S = рS/100
Эту формулу
иногда называют формулой процентов.
Рассмотрим задачу № 1.
Банк обещает
своим клиентам годовой рост вклада 13%. Какую сумму может получить через год
человек, вложивший в этот банк 320 тысяч рублей?
Решение.
Через год банк должен начислить на счет вкладчика 13% от суммы 320 тыс. р.,
т.е. 0,13х320 = 41,6 тыс.р., так что на счете будет находиться 320+41,6=361,6
тыс.р.
Рассмотрим ещё
одну задачу вступительного экзамена
агроуниверситета № 2.
В банк помещен
вклад в размере 12 млн.р. под 100% годовых. В конце каждого из первых трех лет
хранения после начисления процентов вкладчик снимал со счета одну и ту же
фиксированную сумму. К концу четвертого года после начисления процентов оказалось,
что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 30%. Какую сумму
вкладчик ежегодно снимал со счета?
Решение.
Пусть Х руб. снимали ежегодно со вклада
Вкл
12 000 000 р. – 100%
У р. - 30%
3 600 000
р. – 30%
1 год: 24 000 000-Х
р. – 100%
2 год:
(24 000 000 –Х)х2-Х р. – 100%
3 год:
((24 000 000-Х)х2-Х)х2-Х р. – 100%
4 год:
(((24 000 000-Х)х2-Х)х2-Х)х2
((48 000 000-2Х-Х)х2-Х)х2
(96 000 000-6Х-Х)х2=12 000 000+3 600 000
192 000 000-14Х
= 15 600 000
14Х =
192 000 000 – 15 600 000
14Х =
176 400 000
Х =
12 600 000 руб.
2. Простой процентный рост.
Если человек
не вносит своевременно плату за квартиру, аренду земельного участка, автомобиля
и т.д., то на него может налагаться штраф, который называют «пеня» (лат.-
наказание).
Если,
например, пеня составляет 1% от суммы платежа за каждый день просрочки, то за
19 дней просрочки штраф составляет 19% от суммы платежа, и вместе, скажем, с 50
р. Самого платежа человек должен будет внести пеню 0,19х50=9,5 р., а всего 59,5
р.
Ясно, что
платежи все разные; в разных местах пеня за просрочку также неодинаковая, а
время просрочки вообще зависит от большого количества факторов. Поэтому имеет
смысл составить общую формулу платежей для неаккуратных плательщиков,
применимую при любых обстоятельствах.
Пусть S – ежемесячный платеж, пеня
составляет р% за каждый день
просрочки уплаты за некоторый месяц, а п
– число просроченных дней.
Сумму, которую
должен заплатить человек после п дней
просрочки, обозначим через Sп .
Тогда за п дней просрочки пеня составляет рп% от суммы S, т.е. рпS/100, а
всего заплатить за этот месяц придется S+рпS/100, или, что то же самое, (1+ рп/100)х S. Таким
образом,
Sп=(1+рп/100)хS.
Задача № 3.
Сколько надо
заплатить, если платеж 5000 р. Просрочен, пеня равна 1% за каждый день
просрочки, а оплата производится с задержкой: а) на 5 дней; б) на 4 месяца?
Решение.
а) (1+1х5/100)х5000=5250 р.
б) за каждые 30 дней просрочки
пеня составит 30% от суммы платежа, поэтому за весь срок плата возрастет до
(1+1х30х4/100)х5000=2,2х5000=11 000 р.
Рассмотрим
примеры «обратной задачи» на простой процентный рост: Задача № 4.
При какой
процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастет за 6 месяцев до 650 р.?
Решение: Подставим
в формулу простого процентного роста величину начального вклада, конечной суммы
и количество месяцев: 650=(1+6р/100)х500.
Таким образом получено уравнение с неизвестным р. Решим это уравнение: р=(650:500-1)х100:6=5%.
Задача № 5.
Каким должен
быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до
33 тыс.р.?
Решение:
Подставим в формулу простого процентного
роста величину процентной ставки, конечной суммы и количество месяцев:
33000=(1+4х8/100)хS.
Таким образом, получено уравнение с неизвестным S. Решим это уравнение: S=33000:1,32 =25 000
(р.)
3. Сложный процентный рост
В
Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных
вкладов, которые нельзя взять ранее, чем через год) принята следующая система
начисления денег на сумму, внесенную в банк. За первый год нахождения внесенной
суммы на счете она возрастает на некоторое число процентов, в зависимости от
вида вклада. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги –
«проценты», как их обычно называют.
Если же он
этого не сделал, то они капитализируются,
т.е. присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года
проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Коротко говорят,
что при такой системе начисляются «проценты на проценты». В математике в такой
ситуации обычно говорят о сложных процентах.
Пусть банк
начисляет р% годовых, внесенная сумма равна S руб., а сумма, которая будет
через п лет равна Sп.
Sп = (1 + р/100)п
х S.
Это равенство
называют формулой сложного процентного
роста, или просто формулой сложных
процентов.
Задача № 6.
Какая сумма
будет на счете вкладчика через 5 лет, если банк начисляет 12% годовых и
внесенная сумма равна 2000 р.?
Решение:
Сумма через 5 лет составит (1+12/100)5х2000 = 3524,68 р.
Разница законов
простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый
раз вычисляют, исходя из начального значения величины, а при сложном росте он
исчисляется из предыдущего значения.
Можно сказать
также, что при простом росте 100% - всегда начальная сумма, а при сложном росте
100% каждый раз новые – это предыдущее значение величины.
Задача № 7.
Банк начисляет
20% годовых и внесенная сумма равна 5000 рублей. Какая сумма будет на счете
клиента банка через 5 лет:
а) при
начислении банком простых процентов;
б) при
начислении сложных процентов?
Решение:
При простом процентном росте через 5 лет
сумма составит
(1
+ 20х5/100) х 5000 = 10 000 р.,
а при сложном
(1
+ 20/100)5 х 5000 = 12 441,6 р.
Задача № 8.
Каким должен
быть начальный вклад, чтобы через 2 года вклад в банке, начисляющем 30%
годовых, возрос до 8,45 тыс.р.?
Решение:
Обозначим величину начального вклада через Х
и подставим все данные в формулу: (1 + 30/100)2 х Х = 8,45.
Полученное
уравнение имеет единственное решение: Х =5
(тыс.р.)
Формула
сложного процентного роста применима к любой ситуации, когда рассматриваемая
величина за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определенное
число процентов, считая от предыдущего его значения.
Ответы на
задачи для самостоятельного решения:
№1
21 000 000 руб.
№2 900 руб.,
360 руб., 150 руб.
№3 Цена
снижалась два раза на 20 %
№4 На 28 %
№5 На 25 %
№6 12%
№7 На 5 %
№8 На 20 %
Решение
домашней задачи:
№2. А3 = А0 х (1 + 0,01х10)х(1 +
0,01х20)х(1 + 0,01х25)
А3 = А0 х 1,1х1,2х1,25 или А3 = А0 х 1.65
По формуле процентного сравнения:
А3 - А0 х 100% = 1,65х А0 - А0 х 100%
А0
А0
Ответ: цена возросла на 65 %.
